[控制]将s域传递函数变为z域传递函数的方法

本文将介绍几种将s域传递函数变为z域传递函数的方法。值得注意的是不要将这些方法与z变换混淆！

z变换是将离散数列变换到z域，有以下两种定义

时域输入输出微分方程→采样→离散域数列→对每一个数依次乘以一个延时系数 $z^-1$ 并相加→z域传递函数
时域输入输出微分方程→采样→离散域数列→对每一个数依次乘以一个冲激函数 $\delta(t-kT)$ 并相加→脉冲函数→拉氏变换→s域传递函数→定义 $z=e^{sT}$ →z域传递函数

而本文的方法只是z变换第二种方法的其中一个步骤（↑↑↑上面加下划线部分）的几种实现方法,详细的说就是如何在保证输出输出关系不变的前提下用z把s替换掉。

1 差分方法: 思路是既然s传递函数可以表现输入输出微分方程。对应的z传递函数应该可以表现采样后的差分方程。分为前向差分和后向差分。

1.1前向差分：对一个连续函数 $y(k)$ 的微分可以做以下近似 $\dot{y}(k)\approx[y(k+1)-y(k)]/T$ 。等式①

利用上式，可以对 $\dot{y}(k)$ 的再微分， $\ddot{y}(k)\approx[\dot{y}(k+1)-\dot{y}(k)]/T \approx[y(k+2)-2y(k+1)+y(k)]/T^2$ 。

以此类推可以将任意阶的微分方程变为差分方程。

对于等式①的左右两端，我们分别进行拉氏变换和z变换，就可以得到如下的mapping

$sY(s)\rightarrow(z-1)Y(z)/T$ 等式②

所以我们可以利用 $s\rightarrow(z-1)/T$ 将s用z替换，传递函数就从s域近似到了z域。

1.2后向差分：与前向差分类似只不过方向变了而已。即 $\dot{y}(k)\approx[y(k)-y(k-1)]/T$ 。替换公式为 $s\rightarrow(z-1)/(zT)$ 其实后向差分更符合实际，因为实际中你只能根据之前的状态推导之后的状态。

2 零极点配对方法

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3 Bilinear变换方法

Bilinear方法源于z变换的第二种定义 $z=e^{sT}$ 。

将其进行一阶近似： $s=\frac{1}{T}ln(z) \approx \frac{1}{T} [\frac{z-1}{z+1}]$ ，利用此公式将s用z替换，传递函数就从s域近似到了z域。

对于Bilinear方法我们来进行频率响应分析：

1 用bilinear将模拟控制器 $C_a(s)$ 转化为数字控制器 $C(z)$

$C(z)=C_a(s)|_{s=\frac{1}{T} [\frac{z-1}{z+1}]}$ 。

2 根据z变换的第二种定义 $z=e^{sT}$ ，将z用ω替换，得到

$C(e^{j \omega T})=C_a(s)|_{s=\frac{2}{T} [\frac{z-1}{z+1}]}=C_a(\frac{2}{T} [\frac{e^{j \omega T-1}}{e^{j \omega T+1}}]) \\=C_a(\frac{2}{T} [\frac{e^{j \omega T/2}-e^{-j \omega T/2}}{e^{j \omega T/2}+e^{-j \omega T/2}}])=C_a(j*\frac{2}{T}tan[\frac{\omega T}{2}])$ 。